Proyecto final

¿Alguna vez te has puesto a pensar como se aplica la física en situaciones cotidianas? Muchas veces al escuchar la palabra física, nos imaginamos una ciencia complicada y lejana a nuestro diario vivir, llena de conceptos y fórmulas que pueden ser inentendibles, pero si te das el tiempo de conocerla, especialmente desde su parte práctica, te vas a dar cuenta de que estos conceptos y fórmulas no son tan complicados como parecen, especialmente si los estudiamos a partir de fenómenos simples que podemos observar fácilmente en nuestro día a día; y justamente nuestro proyecto trata sobre eso, estudiar conceptos que tal vez pueden parecer difíciles de entender, a partir de una situación tan simple como lo es la caída de un lápiz. 

Por eso, para la realización de este proyecto planteamos como problema la caída de tres objetos largos y homogéneos, es decir, un lapicero, un lápiz y un color, todos de diferentes longitudes y masas, donde debemos calcular la rapidez a la cual cae la punta de cada objeto (rapidez tangencial) y como esta varía dependiendo del largo del objeto; esto se logrará haciendo uso de la energía cinética rotacional y la velocidad angular, además se comprobará como se conserva la energía en cada caída. Los datos obtenidos a partir de este sencillo experimento se compararán con otros calculados en base a la teoría, la cual se explicará a continuación.

Momento de inercia

Imagina que tienes al frente dos bloques de madera, uno de 100 kg y otro de 200 kg, si tratas de empujar uno y luego otro ¿Cuál se moverá con mayor facilidad? Claramente lo hará el bloque con menor masa, por ello podemos afirmar que dicho bloque presenta menor inercia respecto al bloque de 200kg. Ahora bien, este suceso se puede trasladar a movimientos de rotación, en los cuales, el objeto con mayor masa será más difícil de rotar que el objeto con menor masa, a esto se le llama momento de inercia o inercia rotacional.

El momento de inercia, cuya unidad es Kg*m^2, se puede calcular de dos formas: 

Pero te estarás preguntando, ¿Cómo sé que ecuación utilizar?, pues la respuesta es bastante sencilla y para dártela usaremos 2 ejemplos:

En nuestro primer caso tenemos una varilla cuya masa es despreciable, y sobre ella posicionaremos masas a diversas distancias una de las otras, como se muestra en la imagen 1.

Imagen 1

Para hallar el momento de inercia de este sistema debemos usar la ecuación (1) debido a que no tenemos una masa continua sino que están repartidas a lo largo de la varilla, en este caso r_i es la distancia del origen de coordenadas a cada una de las masas m_i.

Como segunda situación tenemos una varilla con masa continua, por ello, en este sistema debemos recurrir a la ecuación (2), en la cual se debe tomar un fragmento de longitud al que llamaremos Δx y una distancia r tomada del origen de coordenadas a dicho Δx. Esta será la ecuación a tener en cuenta para la práctica, por ello, mediante la imagen 2 te mostraremos como hallar el momento de inercia que necesitamos.

Imagen 2

Debemos tener en cuenta para este desarrollo la densidad en una dimensión que es:

Ahora, hay que entender que nuestro Δx, el cual se puede expresar a su vez como dx, es un trozo infinitamente pequeño de la varilla, por eso al asociarlo con la densidad podemos afirmar que tenemos un trozo infinitamente pequeño de masa (dm), el cual procedemos a despejar.

Ya teniendo el dm, pasamos a reemplazarlo junto con la distancia x en la ecuación (2):

Como Λ es una constante, esta sale de la integral y los límites de integración irían de 0 (origen de coordenadas) a L (longitud del objeto).

Finalmente resolvemos la integral (recuerda que Λ=M/L):

Energía cinética rotacional

Como sabemos, todo objeto que se encuentre en movimiento posee energía cinética, sin embargo, hay momentos en los que los objetos no realizan movimientos de traslación (variar su posición), sino que solo rotan respecto a un eje fijo, en ese caso estaríamos en presencia de la energía cinética rotacional. Al ser un tipo diferente de energía, la ecuación que conocemos, k=1/2 mv^2, no nos funciona; por ello, mediante la imagen 3 te mostraremos como deducir la ecuación correcta.

Imagen 3

Para hallar la nueva energía debemos tomar fragmentos del objeto, los cuales por separado si estarán en movimiento (circular), en cada uno habrá una k asociada, por lo que debemos realizar una sumatoria.

Teniendo la sumatoria, debemos recordar las fórmulas de movimiento circular, en las cuales la rapidez tangencial es v= rw y se reemplaza en K_R.

La velocidad angular w es la misma en todas las partes de la trayectoria, mientras que m y r no; por ello debe salir de la sumatoria.

Como pueden observar, lo que queda entre paréntesis es la ecuación (1) para momento de inercia, así que lo reemplazamos por su símbolo, obteniendo así la fórmula de energía cinética rotacional.

Velocidad angular

La velocidad angular w representa el desplazamiento angular (ángulo recorrido por un cuerpo) por unidad de tiempo. La unidad es radianes/s. Para realizar el cálculo de esta velocidad haremos uso del principio de conservación de energía y del sistema mostrado en la imagen 4.

Imagen 4

Al inicio solo tendremos energía potencial ya que la rapidez es cero, pero al final no habrá altura por lo que la energía potencial será cero. (La altura se tomará respecto al centro de masa).

Reemplazamos el momento de inercia que obtuvimos con anterioridad.

Teniendo la igualdad en términos de M, L y g, despejamos w, obteniendo:

Rapidez tangencial

Debemos aclarar que la velocidad tangencial es un vector que representa la distancia que recorre un objeto por unidad de tiempo, mientras que la rapidez es el módulo de dicho vector, es decir, un escalar.

Para hallar esta rapidez, recurrimos nuevamente a v=rw, donde el radio, en este caso, es la longitud L del objeto.

Teniendo los anteriores conceptos claros, procederemos a explicarte como realizamos el montaje y análisis experimental.

Materiales y procedimiento

• Cámara de celular.
• Lapicero.
• Software Tracker.
• Mesa o soporte.
• Programa Excel.

Se empieza grabando tres videos, en donde se ilustra la caída de un objeto alargado, como un lápiz, que se encuentra apoyado de forma vertical sobre un soporte y sostenido en el extremo superior (los objetos deben tener largos diferentes).

El video se carga al software de Tracker para registrar la trayectoria del objeto, comenzando por definir el intervalo de la caída, el cual empieza desde que se suelta el lápiz hasta un momento antes de tocar el suelo. 

Procedemos a utilizar la herramienta “Transportador” para calcular los ángulos de inclinación. El centro del transportador debe ubicarse en la punta del lápiz, la parte superior de este en el otro extremo del objeto y, por último, la parte inferior del transportador se debe colocar paralela a la superficie donde cae el lápiz.

Presionando las teclas Ctrl + Shift y seleccionando el extremo superior del lápiz, el software empezará a seguir el recorrido de la caída, mientras que obtiene los datos de tiempo y ángulo, junto con su respectiva gráfica. Los datos obtenidos se trasladan a Excel, para convertir los ángulos a radianes y estos se grafican con el tiempo; el comportamiento de la gráfica obtenida es similar al de una parábola, a lo cual, la línea de tendencia se aproxima a una ecuación cuadrática.

Esta ecuación se deriva para después multiplicarla por el último dato del tiempo obtenido, el resultado será la velocidad angular, la cual se tomará positiva, esta velocidad se multiplicará por el largo del lápiz medido en metros, y se obtendrá la rapidez tangencial experimental. Para hallar la rapidez tangencial teórica, se usa la ecuación (5) y una vez obtenidas ambas rapideces, se comparan calculando el porcentaje de error.

Resultados

Al realizar el procedimiento detallado anteriormente con los tres objetos mencionados al principio de este articulo, obtuvimos los siguientes datos:

Gráfica 1. Caída del lápiz. Fuente: Autores. 

Gráfica 2. Caída del lapicero. Fuente: Autores. 

Gráfica 3. Caída del color. Fuente: Autores. 

 Ahora te mostraremos cómo se realizaron los cálculos para encontrar la rapidez tangencial, esto utilizando como ejemplo los datos de la caída del lápiz.

• Velocidad angular: 

Para encontrar la velocidad angular derivamos la ecuación que se encuentra en la parte superior de la gráfica 1.

Sustituimos la x con el tiempo que obtuvimos justo antes de que el objeto tocara el piso, el cual en este caso es t = 0,196 s.

Resolviendo, tenemos que la velocidad angular es: 

• Rapidez tangencial experimental: 

En este caso la longitud del lápiz es de L=0,097 m y utilizamos la formula v= rw.

• Rapidez tangencial teórica: 

Hacemos uso de la ecuación (5) para hallarla.

• Porcentaje de error: 

La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos a partir de los datos de las caídas de los tres objetos.

Tabla 1. Rapidez tangencial de los tres objetos. Fuente: Autores.

 

De igual forma, como hicimos anteriormente, te mostraremos como se hicieron los cálculos para estudiar la conservación de la energía utilizando los datos de la caída del lápiz.

• Energía inicial: 

Al iniciar el experimento, la energía es potencial, por esto utilizamos la ecuación de esta, donde la longitud ya la conocemos y la masa en este caso es M=0,002 kg.

• Energía final: 

Al finalizar el experimento, toda la energía inicial se convierte en energía cinética rotacional, por lo cual utilizamos esta ecuación.

• Cambio de la energía durante la caída: 

Y por último, para calcular el cambio de la energía durante la caída le restamos a la energía inicial la energía final. 

A continuación, puedes ver la tabla en donde se encuentran los resultados obtenidos de las tres caídas utilizando el procedimiento anterior. 

Tabla 2. Cambio de la energía durante la caída de los tres objetos. Fuente: Autores.

Finalmente, observando los datos obtenidos, podemos concluir los siguientes puntos:

• Mirando la tabla 1, te darás cuenta de que la velocidad angular disminuye a mayor longitud, a diferencia de la rapidez tangencial teórica donde sucede lo contrario, siendo el lápiz el objeto con menor longitud, mayor velocidad angular y menor rapidez, por lo que podemos afirmar que la rapidez es directamente proporcional a la longitud y la velocidad angular es inversamente proporcional a esta medida.

• Al analizar la rapidez experimental, notamos que a pesar de que el lapicero tiene una menor longitud respecto al color, la rapidez de este último es menor a la del primero, por lo que no se está cumpliendo lo mostrado por la teoría; dicho imprevisto puede estar asociado a errores al momento del montaje, como lo son no soltar los objetos desde una posición totalmente vertical, que la punta del objeto se despegue de la superficie de contacto, o como el hecho de que la línea de tendencia no se ajusta adecuadamente a la gráfica ya que esta no es una parábola, aunque si se asemeja mucho a una; y es por esta razón misma razón que los porcentajes de error son un poco altos.

• Respecto a la variación de la energía de los tres objetos, mostrada en la tabla 2, está claro que no se perdió demasiada del punto final al inicial, por lo que el principio de conservación de energía se presenta en esta práctica.

Esperamos que este proyecto te anime a interesarte por entender como funcionan realmente los conceptos que ves en tus cursos de física y aprender otros nuevos.

Video proyecto

Referencias

• Mijangos, L. [Luis Mijangos]. (2021, enero 24). Práctica especial 1 guía [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=XGZYhxJWdBE  
• Ángel, J. [José Ángel]. (2014, julio 3). Momento de inercia de una varilla. Teorema de Steiner [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=LzffIoFprgU  
• Wissensync. [Wissensync]. (2018, octubre 10). Física | Energía cinética rotacional y momento de inercia [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=_ZdK3rRcwXY  
• Paves, F., Jiménez, C., Ramos, M. (2009). Física 3º año medio. Santiago: McGraw-Hill/Interamericana de Chile Ltda.
• Fernández, J. Magnitudes angulares. España: Fisicalab. Recuperado de https://www.fisicalab.com/apartado/magnitudes-angulares 

Realizado por:

Jonatan Rodríguez 2200269 

Laura Rodríguez 2191822

Laura Rueda 2192062